"Resueltas” por IA las ecuaciones de Navier-Stokes: el desafío matemático del siglo XIX sobre el que también investiga CEF.- UDIMA

¿Qué tienen en común el aire que rodea a un avión, el flujo sanguíneo o el movimiento de un fluido por una tubería? Aunque a simple vista parezcan fenómenos completamente diferentes, todos pueden estudiarse mediante unas ecuaciones formuladas en el siglo XIX que siguen planteando, casi doscientos años después, algunas de las preguntas más difíciles de las matemáticas.

Son las ecuaciones de Navier–Stokes. Y estos días han vuelto al centro de la actualidad científica.

El pasado 8 de septiembre, OpenAI presentó una propuesta de solución al problema de existencia y regularidad de Navier–Stokes, uno de los siete Problemas del Milenio establecidos por el Clay Mathematics Institute. El trabajo fue obtenido mediante un sistema con miles de agentes de inteligencia artificial trabajando en paralelo y se presentó acompañado de una formalización de la demostración en Lean. 

Esta noticia tiene, además, una conexión muy directa con una investigación desarrollada en CEF.- UDIMA. José Luis Díaz Palencia, docente del Grado en Matemática Aplicada y Computación, lleva años trabajando en el análisis de ecuaciones diferenciales parciales y en 2025 publicó en la revista científica Mathematics el artículo Exponential Growth and Properties of Solutions for a Forced System of Incompressible Navier–Stokes Equations in Sobolev–Gevrey Spaces.

Su investigación y la propuesta presentada ahora por OpenAI no resuelven el mismo problema ni persiguen el mismo resultado, pero ambas estudian la relación entre las fuerzas externas, la regularidad y el comportamiento de las soluciones de estas ecuaciones.

Unas ecuaciones del siglo XIX que siguen desafiando a las matemáticas

Para entender la dimensión de esta noticia, hay que empezar por una pregunta aparentemente sencilla: ¿qué son exactamente las ecuaciones de Navier–Stokes?

“Son, en esencia, las ecuaciones que describen cómo se mueve un fluido”, explica Díaz Palencia. Relacionan variables como su velocidad y presión con la viscosidad y las fuerzas que actúan sobre él. Y no hablamos únicamente del agua: permiten estudiar desde el flujo alrededor de un avión o un coche de Fórmula 1 hasta la circulación atmosférica, las corrientes oceánicas, el transporte por tuberías o el flujo sanguíneo.

Formuladas en el siglo XIX, estas ecuaciones se utilizan continuamente para modelizar fenómenos reales, pero todavía esconden una pregunta fundamental: ¿podemos asegurar que una evolución inicialmente regular seguirá siéndolo siempre?

En tres dimensiones sabemos que determinadas soluciones pueden mantenerse suaves durante un intervalo de tiempo. El problema es qué sucede a largo plazo y si pueden aparecer las llamadas singularidades. Para explicarlo, Palencia propone imaginar un remolino que concentra su movimiento en una región cada vez más pequeña mientras gira cada vez más deprisa. Si alguna de las magnitudes que describen ese movimiento deja de estar matemáticamente acotada, “la descripción suave se rompe”. No significa que un fluido real alcance literalmente una velocidad infinita, sino que la solución del modelo matemático deja de ser regular.

Determinar si esto puede ocurrir es una cuestión tan profunda que el Clay Mathematics Institute incluyó el problema de existencia y regularidad de Navier–Stokes entre sus siete Problemas del Milenio, cada uno asociado a un premio de un millón de dólares. Pero, para el profesor, el premio es casi lo de menos: “El problema está en el corazón del análisis de ecuaciones diferenciales parciales no lineales: queremos saber si unas leyes locales perfectamente bien definidas producen siempre una evolución global regular o si pueden generar por sí mismas una ruptura”.

10.000 agentes de IA y 88 horas para abordar el problema

Aquí es donde entra la inteligencia artificial.

Según la información publicada por OpenAI, alrededor de 10.000 agentes de IA trabajaron en paralelo, explorando diferentes estrategias, compartiendo resultados y combinando los caminos más prometedores. La solución se alcanzó aproximadamente 88 horas después de lanzar los primeros agentes y su posterior formalización y verificación en Lean necesitó otras 17 horas.

La propuesta construye una situación con datos iniciales suaves y una fuerza externa también suave en la que aparece una singularidad en tiempo finito. Esta distinción es importante: mientras las formulaciones A y B del Problema del Milenio preguntan por la regularidad global sin fuerza externa, las formulaciones C y D permiten introducir una fuerza externa suave y plantean la posibilidad de que se produzca una ruptura de la solución.

El trabajo de OpenAI sigue esta segunda vía. Si supera el proceso de validación, satisfaría una de las alternativas contempladas por el Problema del Milenio, aunque seguiría abierta una cuestión de enorme interés matemático: qué ocurre en el problema tridimensional estrictamente no forzado.

¿Está entonces resuelto el Problema del Milenio?

El anuncio es extraordinariamente relevante, pero todavía debe superar el proceso establecido para un resultado de esta magnitud.

El Clay Mathematics Institute ha reconocido públicamente la importancia del trabajo y ha señalado que Navier–Stokes parece haber sido resuelto. Sin embargo, como explica Palencia, “existe un anuncio de un resultado extraordinariamente fuerte”, pero eso “no equivale todavía a una validación definitiva en el sentido del Premio del Milenio”.

Las reglas exigen, entre otras condiciones, la publicación del resultado en un medio cualificado, el paso de al menos dos años desde esa publicación y su aceptación general por parte de la comunidad matemática.

La demostración incorpora además una particularidad: ha sido formalizada en Lean, un asistente que permite comprobar mediante una máquina las definiciones, hipótesis y pasos lógicos de una demostración. Esto aporta una capa adicional de verificación y reduce el riesgo de errores locales en un trabajo tan extenso, pero no elimina la necesidad del criterio humano.

“Lean no decide si el teorema que hemos formalizado es exactamente la cuestión científica que queríamos resolver; esa interpretación sigue requiriendo criterio matemático”, concluye Díaz Palencia.

CEF.- UDIMA también investiga sobre Navier–Stokes

Mientras Navier–Stokes vuelve al centro de la actualidad científica, en CEF.- UDIMA José Luis Díaz Palencia ya llevaba años trabajando sobre estas ecuaciones.

En su artículo publicado en 2025, el profesor estudió un sistema tridimensional de Navier–Stokes incompresible sometido a una fuerza externa con crecimiento exponencial máximo, empleando espacios de Sobolev–Gevrey.

La pregunta de partida era concreta: bajo esas condiciones, ¿podemos garantizar la existencia y unicidad de la solución y controlar matemáticamente cómo evoluciona su regularidad?

Su trabajo demostró resultados de existencia y unicidad local y obtuvo estimaciones que permiten controlar matemáticamente el crecimiento de determinadas normas bajo las hipótesis consideradas. 

Y aquí el propio investigador insiste en una distinción fundamental:

“Es importante subrayar que ese trabajo no resolvía el problema global del Milenio ni demostraba una singularidad; analizaba rigurosamente cómo una fuerza externa puede afectar a la regularidad y al crecimiento de las soluciones”. 

Dos investigaciones sobre un mismo universo matemático, pero con objetivos diferentes

Existe, por tanto, un punto de encuentro entre ambos trabajos, pero también una diferencia clara.

“Ambos trabajos estudian las ecuaciones tridimensionales incompresibles de Navier–Stokes y ponen el foco en la relación entre fuerzas externas, regularidad y crecimiento de las soluciones”. 

Su investigación obtiene resultados positivos de existencia y unicidad local y estimaciones de crecimiento dentro de un marco funcional determinado. El trabajo anunciado por OpenAI persigue otra cosa: construir un ejemplo en el que aparezca una singularidad en tiempo finito y establecer así una de las alternativas de ruptura contempladas por el Clay.

“Son resultados complementarios en cuanto al objeto matemático, pero no deben confundirse: mi trabajo no demuestra blow-up ni anticipa esa construcción, y el resultado de OpenAI no invalida los resultados locales de existencia y control que yo obtengo”. 

Para estudiar estas cuestiones, Palencia recurrió en su investigación a los llamados espacios de Sobolev–Gevrey. Y tiene una manera bastante más sencilla de explicar para qué sirven: son una especie de “microscopio matemático”.

“No basta con saber que la solución existe, queremos saber cuánto detalle conserva y si empiezan a aparecer estructuras cada vez más finas”, explica. Estas herramientas permiten observar con precisión la regularidad de una solución, algo especialmente útil en Navier–Stokes porque una posible pérdida de regularidad está precisamente relacionada con la concentración de actividad en escalas cada vez menores. 

¿Qué cambia cuando la inteligencia artificial también investiga?

Más allá de Navier–Stokes, el anuncio plantea otra pregunta difícil de ignorar: ¿qué ocurre cuando la inteligencia artificial deja de utilizarse únicamente para calcular o automatizar tareas y comienza a participar en la exploración de problemas matemáticos abiertos?

Esta puede ser una de las consecuencias más interesantes de todo lo sucedido.

“La inteligencia artificial no aparece aquí únicamente como una herramienta que calcula más rápido, sino como un sistema capaz de explorar simultáneamente muchas estrategias, comunicar resultados entre agentes, descartar caminos y después llevar una propuesta hasta una formalización matemática”. 

Eso puede acelerar profundamente determinados procesos de investigación, pero no convierte al matemático en una figura prescindible.

Alguien sigue teniendo que formular correctamente la pregunta, identificar qué resultados son relevantes, interpretar las construcciones, comprobar que las hipótesis se corresponden con el problema original y determinar cuál es el verdadero alcance del resultado.

“Creo que vamos hacia una investigación en la que el razonamiento humano, la computación, los sistemas multiagente y los asistentes de demostración formal trabajarán cada vez más integrados. Lo que no debe cambiar es el estándar de rigor”. 

Matemáticas, computación e IA: fronteras que cada vez existen menos

Navier–Stokes reúne en una misma historia análisis matemático, ecuaciones diferenciales, física de fluidos, cálculo numérico, programación, inteligencia artificial y verificación formal.

“Hoy las matemáticas aplicadas no viven en compartimentos aislados”. Comprender un problema como este exige una base de análisis funcional y ecuaciones diferenciales, pero también física para interpretar el modelo, programación y cálculo numérico para experimentar y simular y, cada vez más, herramientas de inteligencia artificial y demostración formal. 

Es también un ejemplo de lo que puede encontrarse un estudiante que hoy decide adentrarse en este ámbito. El Grado en Matemática Aplicada y Computación de CEF.- UDIMA busca precisamente formar perfiles capaces de moverse entre ambos mundos: comprender la estructura matemática de un problema y saber trasladarla a algoritmos, modelos y herramientas computacionales.

Estudiar hoy matemáticas y computación significa entrar en “una disciplina con una frontera de conocimiento completamente abierta”. Ya no se trata únicamente de aprender a resolver problemas conocidos, sino de modelizar, programar, simular, analizar datos y utilizar de manera crítica nuevas herramientas de inteligencia artificial. 

El caso de Navier–Stokes quizá sea un ejemplo extremo, pero precisamente por eso resulta revelador. Casi dos siglos después de la formulación de estas ecuaciones, sigue demostrando que “aplicada” no significa menos rigurosa y que algunos de los grandes problemas científicos y tecnológicos del futuro exigirán, precisamente, saber combinar matemáticas, computación y nuevas formas de inteligencia.

Conoce el Grado en Matemática Aplicada y Computación de CEF.- UDIMA